Чётными числами на рисунке в условии задачи являются числа 2, 4 и 6. Соединив отрезками соответствующие точки, получим треугольник, который имеется только в ответе Д. Нечётными являются числа 1, 5 и 3. Соединив отрезками соответствующие им точки, получим треугольник, который также имеется только в ответе Д.

На следующем рисунке стрелками показано, в каком направлении огибались буи. Видим, что против хода часовой стрелки лодка огибала буи 1 и 3.

На следующем рисунке показан путь луча. Видим, что он выходит из системы зеркал в точке В.

Соединив глифы 40 и 5, т.е. , получим глиф . Таким образом, правильным является ответ Г.

Чтобы число пакетов было наименьшим, нужно купить как можно больше пакетов с наибольшим количеством шариков. Пакетов с 25 шариками не может быть больше 3, иначе число купленных шариков будет не меньше 25 · 4 = 100. Если взять 3 пакета с 25 шариками, то в них будет 25 · 3 = 75 шариков и понадобятся ещё 95 – 75 = 20 шариков. Для их покупки понадобятся ещё по крайне мере 2 пакета с 10 шариками. Таким образом, наименьшее число пакетов равно 3 + 2 = 5. Тем самым, правильным является ответ Б.

Площадь всего данного квадрата равна 10 · 10 = 100 см². Серые участки составляют ровно половину площади квадрата (см. рис.). Действительно, если согнуть квадрат по диагонали, то все серые участки в точности совместятся с белыми и, наоборот, все белые участки совместятся с серыми. Следовательно, серая часть квадрата равна его белой части и, значит, равна 100 : 2 = 50 см².

Для того чтобы чёрный автомобиль смог выехать из гаража, необходимо освободить клетку А. Для этого соответствующий автомобиль должен отъехать на 2 клетки. Он не может отъехать на две клетки назад. Чтобы он смог проехать на 2 клетки вперёд, необходимо, чтобы освободилась клетка В. Для этого автомобиль, занимающий эту клетку, также должен отъехать на 2 клетки. Снова, этот автомобиль может проехать на 2 клетки только вперёд. Но это возможно только при условии, что освободится клетка С. Для этого, в свою очередь, должна освободиться клетка D. Видим, что переместиться должны по крайней мере 4 автомобиля. Если автомобили сначала D, а затем C проедут вперёд на 1 клетку, после этого сначала B, а затем A – на 2 клетки вперёд, то у чёрного автомобиля не будет препятствий для выезда из гаража.

После первого разлома нити спагетти на 3 куска и после всех последующих разломов число кусков увеличивается на 2. (Один кусок исчезает и три новых появляются.) Поэтому, так как вначале был 1 кусок (а 1 – нечётное число), после каждого разлома число кусков будет оставаться нечётным. Во всех вариантах ответа, кроме В, указаны нечётные числа. Все нечётные числа кусков могли получиться. А 20 кусков получиться не могло.

Чтобы число из некоторого набора цифр было наименьшим, необходимо, чтобы на старшие разряды приходились как можно меньшие цифры, т.е. цифры (слева направо) должны располагаться в порядке неубывания. Но в данном случае не на всех карточках изображены цифры. На четырёх карточках записаны многозначные числа. Цифры на них нельзя поменять местами, тем более, использовать отдельно. Поэтому, чтобы составить из карточек наименьшее число, нужно расположить карточки в порядке неубывания первых цифр на этих карточках. В случае совпадения первых цифр, такое же правило следует применить для вторых цифр и т.д. Поэтому данные карточки нужно расположить так: 113, 4, 51, 5, 67, 69, 9. Видим, что полученное наименьшее число будет заканчиваться цифрами 699.

Соседними с верхней чёрной кабинкой являются белые кабинки. Поэтому наименьшим будет поворот, если одна из них займёт место верхней чёрной кабинки. Всего на колесе обозрения имеется 12 кабинок. Поэтому кабинки занимают место соседних при повороте колеса на 1/12 оборота.

Заметим, что последним в данной цепочке животных является слонёнок. После развилки он также будет последним. Видим, что последовательность в ответе В невозможна. Можно убедиться, что разойтись на развилке так, как показано в других вариантах ответа, животные могли.

Чтобы найти правильный ответ, совсем не обязательно выполнять все преобразования на указанном пути. Заметим, что количество стрелок вверх такое же, как и вниз (см. рис.). Поэтому сколько раз текущее значение будет умножаться на 4, столько же раз оно будет делиться на 4. В совокупности, поскольку порядок операций умножения и деления неважен (результат не меняется при их перестановке), они исходное число не изменят.

Что касается горизонтальных стрелок, то стрелок влево на одну больше, чем вправо. Поэтому операций деления на 2 будет на одну больше, чем операций умножения на 2, и в результате у Клары получится число 12 : 2 = 6.

Крайние кубики цифры 2 склеены только с одним кубиком. Поэтому у них окрашены 5 граней из шести. Три цифры 2 имеют 6 таких кубиков. Все остальные кубики склеены ровно с двумя другими кубиками. Поэтому у них ровно 4 грани окрашены. Так как всего было использовано 66 кубиков, то искомое число кубиков равно 66 – 6 = 60.

Согласно данным на первом рисунке в условии задачи, объём жидкости в резервуаре равен 4 · 2 · 0,25 = 2 м³. На втором рисунке – тот же резервуар с тем же объёмом жидкости. Но на этот раз площадь его основания равна 1 · 2 = 2 м². Поэтому уровень жидкости равен 2 : 2 = 1 м.

По-другому правильный ответ можно получить так. Согласно данным на первом рисунке в условии, жидкость занимает четвёртую часть от объёма всего резервуара. Поэтому на втором рисунке (как и на первом) уровень жидкости тоже составляет четвёртую часть высоты резервуара. А так как высота резервуара на втором рисунке равна 4 м, то уровень жидкости равен 4 : 4 = 1 м.

На следующем рисунке показаны результаты первого и второго сворачиваний данного листа. Видим, что получится результат, указанный в ответе А.

Прорисуем полностью стороны всех клеток.

Видим, что, помимо клеток, образуются 8 равных треугольников. Половина из них окрашена, а половина не окрашена. Поэтому, если убрать окраску у окрашенных треугольников и окрасить неокрашенные треугольники, то, во-первых, площадь окрашенной части не изменится, а во-вторых, окрашенными окажутся ровно 4 из 16 клеток. Следовательно, площадь окрашенной части в 16 : 4 = 4 раза меньше площади данного квадрата и, значит, равна 100 : 4 = 25 см².

Два числа с тремя одинаковыми цифрами, непосредственно предшествующие числу 2022, – это 2000 и 1999. Поэтому черепаха Ева родилась не позже 1999 года и, значит, к концу 2022 года ей будет не менее 2022 – 1999 = 23 лет.

В верхней строчке первые два кружочка входят в четвёрку, в которой уже имеются числа 2 и 3 (см. рис.). Поэтому первые два числа в верхней строчке – это 1 и 4 (или 4 и 1). Тогда последние два числа в этой строчке – это 2 и 3, в каком-то порядке. Но число 2 не может быть третьим в данной строчке, иначе в третьем столбце таблицы будут два числа 2 и условия задачи для этого столбца не будут выполнены. Следовательно, в верхней строчке третье число – это число 3, а последнее (искомое) – это число 2.

Заметим, что найденное значение искомого числа не гарантирует, что требуемое заполнение таблицы существует. Для убедительности построим пример.

Если бы третья по весу собака весила 3 или более килограммов, то вес всех собак был бы не менее 29 + 28 + 3 + 1 = 61 кг, что противоречит условию задачи. Далее, четвёртая по весу (самая лёгкая) собака весит не менее 1 кг. Получаем единственную возможность: третья по весу собака весит 2 кг. Таким образом, правильным является ответ 2 кг. Тогда, действительно, все четыре собаки весят 29 + 28 + 2 + 1 = 60 кг.

По-другому найти правильный ответ можно так. Заметим, что самая тяжёлая собака может весить только 29 кг. Действительно, в противном случае все собаки весили бы не менее 30 + 28 + 2 + 1 = 61, противоречие. Итак, две самые тяжёлые собаки весят 29 + 28 = 57 кг. Поэтому две самые лёгкие собаки весят 60 – 57 = 3 кг. Это возможно, только если их вес 2 кг и 1 кг. Видим, что третья по весу собака весит 2 кг.

Сумма чисел в каждой тройке будет наибольшей, если сумма сумм троек будет наибольшей. Число в центре входит во все тройки, остальные числа – только в одну тройку. Поэтому сумма чисел во всех тройках будет наибольшей, если центральное число будет наибольшим. Наибольшее среди данных чисел – число 9. Чтобы получить соответствующий пример, достаточно разбить остальные числа (3, 4, 5, 6, 7, 8) на пары с одинаковыми суммами. Такое разбиение легко получить: 3 + 8 = 11, 4 + 7 = 11, 5 + 6 = 11. Следовательно, наибольшее значение суммы одной тройки равно 11 + 9 = 20.

Из условия задачи следует, что при увеличении стопки на 8 – 2 = 6 стаканов её высота увеличивается на 42 – 18 = 24 см. Тогда при увеличении стопки на 2 стакана, т.е. в 3 раза меньше, высота увеличивается на 24 : 3 = 8 см. Поэтому стопка из 6 стаканов имеет высоту 18 + 8 + 8 = 34 см.

Все животные в таблице разные, поэтому и все соответствующие им числа различны. Сумма чисел в третьем столбце равна 3 = 2 + 1. Поэтому сумма чисел в верхней строчке будет наибольшей, если тигр представляет число 2. Далее, сумма чисел в четвёртом столбце равна 7. Ни одно из этих чисел не может быть равно ни 2, ни 1. Тогда эти числа – 4 и 3. Поэтому наибольшее значение, представляемое собакой, – это число 4. Во втором столбце сумма двух чисел равна 11. И каждое из них больше числа 4. Значит, это числа 6 и 5. Наибольшее значение, представляемое зайцем, равно 6. Наконец, сумма двух чисел в первом столбце равна 15. Каждое из них больше числа 6. Поэтому наибольшее значение числа, представляемого коровой, равно 8. Таким образом, наибольшее значение суммы чисел в первой строке таблицы равно 8 + 6 + 2 + 4 = 20.

У первых двух подсказок (682 и 614) цифра 6 стоит на первом месте. Поэтому она не может быть правильной, так как, согласно второй подсказке, правильная цифра стоит на неправильном месте. Далее, согласно последней подсказке, код не содержит цифр 7, 3, 8. Поэтому правильной цифрой кода на правильном месте у числа 682 является цифра 2, и она стоит на правильном третьем месте. Тогда, согласно третьей подсказке (число 206 имеет 2 правильные цифры, но не на правильных местах), правильной цифрой является цифра 0, но она должна быть на первом месте. Ещё одной цифрой (на втором месте), как следует из второй подсказки, является цифра 4. Таким образом, правильный код замка – 042.

Данная фигура состоит из трёх столбиков, полученных из трёх склеенных кубиков, расположенных в один ряд. У среднего столбика крайние кубики склеены со средними кубиками двух других столбиков. Среди вариантов ответа только фигуры в вариантах В и Г обладают таким свойством. Но в варианте Г два столбика (вертикальные) расположены параллельно. У данной фигуры нет параллельных столбиков. Видим, что единственным правильным ответом может быть только ответ В. Действительно, если данную фигуру повернуть так, чтобы верхний горизонтальный столбик стал вертикальным, а затем повернуть её так, чтобы этот столбик оказался слева, то получим вид этой фигуры, указанный в ответе В.

Каждое из данных пяти чисел может быть результатом, вписанным в серую клетку:

3 + 5 – 6 = 2,

2 + 6 – 5 = 3,

2 + 5 – 3 = 4,

2 + 6 – 3 = 5,

3 + 5 – 2 = 6.

Поэтому правильным является ответ 5.

Разложим данные произведения на простые множители:

210 = 2 · 3 · 5 · 7,

105 = 3 · 5 · 7,

84 = 2 · 2 · 3 · 7,

168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7.

Видим, что все числа делятся на 7, но не все делятся на 3, 4, 5, 6. Поэтому в центре должно быть число 7. Только числа 105 и 210 делятся на 5. Поэтому слева должно быть число 5. Тогда, чтобы получалось произведение 210, нижним должно быть число 210 : (5 · 7) = 6. Далее, чтобы получалось произведение 168, справа должно быть число 168 : (7 · 6) = 4. Тогда сумма чисел в вершинах окрашенного треугольника равна 7 + 6 + 4 = 17.

Повернём развёртку Б на пол-оборота и свернём её так, чтобы получился параллелепипед. Повернём полученный параллелепипед так, чтобы знак «+» оказался на одноклеточной грани справа, а на передней грани знаки «–» располагались горизонтально. Получим вид параллелепипеда, указанный на следующем рисунке. (Клетки видимых граней на втором изображении развёртки выделены.)

Сравнивая результат с исходным параллелепипедом, видим, что изображения на правой клетке верхней грани не совпадают. Поэтому развёртка Б не может быть развёрткой данного параллелепипеда. Можно убедиться, что из других развёрток свернуть данный параллелепипед можно. Таким образом, правильным является ответ Б.

Для каждого из мест расположения школ в вариантах ответа найдём суммы расстояния до школы.

Школа в A: 20 × 10 + 30 × 20 + 40 × 30 = 2000 км.

Школа в B: 10 × 10 + 30 × 10 + 40 × 20 = 1200 км.

Школа посередине между B и C: 10 × 15 + 20 × 5 + 30 × 5 + 40 × 15 = = 1000 км.

Школа в C: 10 × 20 + 20 × 10 + 40 × 10 = 800 км.

Школа в D: 10 × 30 + 20 × 20 + 30 × 10 = 1000 км.

Видим, что общее расстояние до школы будет наименьшим, если она будет построена в деревне С.

Рассмотрим вид конструкции сверху и в каждой клетке укажем наибольшее количество кубиков, которые могут стоять на данной клетке. При этом будем учитывать вид спереди и вид справа (см. рис.).

В результате находим, что наибольшее возможное число кубиков равно

3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 = 19.

Рассмотрим троих подряд сидящих за столом. Все трое не могут носить шляпу. Действительно, все, кто в шляпе, – правдивые. Но тогда у среднего из них оба соседа были бы в шляпах, и он не мог бы сказать: «По крайней мере один из двух моих соседей не носит шляпы». А два среди любых трёх подряд сидящих могут носить шляпу. Соответствующая рассадка:

Ш Ш Б Ш Ш Б Ш Ш Б … Ш Ш Б

(«Ш» означает «в шляпе», «Б» означает «без шляпы»). Следовательно, наибольшее число людей за столом, которые носят шляпу, равно 20.