Имеем:

= 49/10

Юля не могла выбросить 3 шестёрки. Действительно, всего выброшено 5 кубиков. Если бы выпало 3 шестёрки, то на ещё два кубика пришлось бы 19 – 3 · 6 = 1 очко, что невозможно. Тем более Юля не могла выбросить более трёх шестёрок. Тогда бы сумма очков была бы заведомо больше 19. Две шестёрки могли быть, например, если выпали 6, 6, 5, 1, 1. Поэтому правильным является ответ 2.

Вертикальные участки пути в совокупности составляют высоту банки и, значит, в сумме равны 15 см. Горизонтальные участки пути, если их спроецировать на нижнее основание банки, составят в точности 2 полные окружности основания. Поэтому путь муравья равен

15 + 2 · 30 = 75 см.

Верхняя полоса может быть любого из 4-х цветов. Каждая полоса, расположенная ниже, может быть любого из 3 цветов (всех, кроме цвета полоски выше). Следовательно, флаг можно раскрасить

4 · 3 · 3 = 36 способами.

Легко видеть, что разложение 2-простого числа на простые множители должно иметь вид 2p. Если p ≠ 2, то такое число имеет делители 1, 2, p и 2p. Их четыре, а у 2-простого числа должно быть три делителя. Следовательно, p = 2 и, значит, существует только одно 2-простое число – число 4.

Только если y принимает любое из значений от 1 до 2⁹ – 1, то

2y < 2¹⁰,

и тогда существует единственное натуральное значение

x = 2¹⁰ – 2y, удовлетворяющее условию задачи.

Поэтому существует 2⁹ – 1 пар, удовлетворяющих условию задачи.

Поскольку соответствующие стороны двух данных треугольников параллельны, то все «лучи» звезды, полученной в результате их объединения, являются равносторонними треугольниками. Тогда длина стороны AB треугольника ABC на рисунке равна

6 + 15 + 11 = 32.

Но тогда и длина стороны BC этого треугольника также равна 32. Поэтому

CQ = PC = 32 – (12 + 11) = 9, и тогда

QR = 32 – (9 + 6) = 17.

В результате, искомый периметр равен

6 + 15 + 11 + 12 + 9 + 17 = 70.

Первый чёрный квадрат по площади составляет 1/4 часть от всего данного квадрата. Следующий чёрный квадрат – 1/4 от предыдущего чёрного и т.д. до бесконечности. Получаем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, у которой первый член и знаменатель равны 1/4. По формуле суммы бесконечно убывающей прогрессии

Поэтому площадь чёрной части данного квадрата равна

1/3 ⋅ 84 = 28.

Рассмотрим 4 подряд идущих числа. Первые 3 из них и последние 3 из них должны иметь суммы, кратные 3. При этом два слагаемых у этих сумм общие. Поэтому первое и четвёртое числа должны иметь одинаковые остатки при делении на 3. Следовательно, остатки чисел в строке должны повторяться с периодом 3, т.е. последовательность остатков чисел данной полоски имеет вид ABCABCABC, где A = 0, B = 1, C = 2. (Согласно условию, второе число, т.е. число 7, имеет остаток B, откуда B = 1. Четвёртое число, т.е. число 9, имеет остаток A, откуда A = 0. В результате остаток C = 2.) Одно из чисел с остатком 0 и одно из чисел с остатком 1 уже вписаны. В каждом случае остаётся по два числа с данными остатками. В соответствии со схемой чередования остатков в две оставшиеся клетки их можно вписать 2 способами. Далее, имеется

3! = 3 · 2 · 1 = 6 способов, как можно вписать 3 числа с остатком 1 в 3 соответствующие клетки.

Таким образом, Миша может заполнить оставшиеся клетки полоски

2 · 2 · 6 = 24 способами.

Число вида 5ⁿ при любом натуральном n заканчивается цифрой 5.

Тогда число вида 5ⁿ + 1 заканчивается цифрой 6. Поэтому данное в условии произведение заканчивается такой же цифрой, как произведение

6 · 6 · 6, т.е. цифрой 6.

Рассмотрим треугольник BCD на рисунке.

Согласно неравенству треугольника, (длина ребра BD):

a < 2 + 4 = 6.

С другой стороны, рассматривая треугольник АВD, получаем:

a + 3 > 7, откуда a > 4.

Из двойного неравенства 4 < a < 6 следует, что целое значение a = 5. Далее, в треугольнике АВC имеем:

b + 2 > 7, откуда b > 5.

С другой стороны, в треугольнике АCD:

b < 3 + 4 = 7.

Единственное целое значение b, удовлетворяющее обоим полученным неравенствам, – это b = 6. Таким образом, искомая сумма длин

a + b = 5 + 6 = 11.

Имеем: N! = 6! · 7! = 7! · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 7! · (2 · 4) · (3 · 3) · (5 · 2) = 7! · 8 · 9 · 10 = 10!.

Поэтому число N = 10, сумма его цифр равна 1 + 0 = 1.

При a = 0 получаем:

y = x³ + 3x² + 4.

При a = 1 получаем:

y = x³ + 3x² + x + 6.

Вычтем первое уравнение из второго, получим

0 = x + 2, откуда x = –2.

Подставив это значение, например, в первое уравнение, получим

y = (–2)³ + 3(–2)² + 4 = 8.

Поэтому искомая точка – это точка (–2; 8), сумма её координат равна –2 + 8 = 6. Следовательно, правильным является ответ Д.

Нетрудно показать, что найденная точка действительно принадлежит графикам функций вида

y = x³ + 3x² + аx + 2а + 4

при всех действительных значениях а. Это следует из равенства

при всех действительных значениях а. Это следует из равенства

y = x³ + 3x² + аx + 2а + 4 = (x + 2) · (x2 + x + a – 2) + 8.

Это равенство можно получить как результат деления данного кубического многочлена на x + 2 с остатком.

Сложив пять данных равенств, получим:

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = 5S + 1 + 2 + 3 + 4 + 5,

или S = 5S + 15, откуда S =-15/4

Поскольку 2m – 2023 – нечётное число, наименьшее значение |2m – 2023| равно 1. Тогда неравенство

|2m – 2023| + |2n – m| ≤ 1

может быть выполнено только при условии, что

|2n – m| =0 и |2m – 2023| = 1.

Из уравнения

|2m – 2023| = 1 получаем

2m – 2223 = ±1, откуда 2m = 2022 или 2024, т.е. m = 1011 или m =1012.

Подставим эти значения в уравнение

|2n – m|=0.

В первом случае получим

|2n – 1011| = 0 – нет целых решений, так как 2n – 1011 – нечётное число.

Во втором случае получим

|2n – 1012| = 0, или 2n – 1012 = 0, откуда n = 506.

Таким образом, существует только 1 пара (m; n) = (1012; 506), удовлетворяющая условию задачи.

Заметим, что в любой четвёрке последовательно сидящих животных не более двух бобров. Действительно, если конфигурация расположения животных имеет вид ББББ, БББК или БКББ, то по крайней мере у второго слева животного условие задачи не выполняется. (С точностью до симметрии, эти 3 конфигурации – все, в которых более двух бобров.) Итак, в каждой четвёрке последовательно сидящих животных не более двух бобров и, значит, не менее двух кенгуру. Заметим также, что два подряд бобра не могут сидеть с краю на двух первых или на двух последних местах (у первого и последнего животного не будет соседнего кенгуру). Поэтому максимальное число бобров даёт рассадка: БККБ БККБ БККБ БККБ БККБ БКК. В ней 11 бобров.

Имеем:

5⁵⁶ = 5^5⋅55 = (5⁵)⁵⁵

(в последнем преобразовании использована формула a^km = (a^k)^m).

Поэтому n = 5⁵.

Проведённые линии, расположенные вне развёрток, показывают, с какими гранями будут соединены концы линий на гранях развёрток, если их свернуть обратно в поверхность параллелепипеда. Видим, что только в случае Г получается непрерывная линия. Это значит, что при сворачивании этой развёртки на поверхности параллелепипеда будет непрерывная линия. Таким образом, правильным является ответ Г.

Проведём диагональ заштрихованного четырёхугольника, как показано на рисунке.

Треугольники A и B имеют одинаковые высоты, опущенные на основания a и b соответственно. При этом площадь треугольника A (обозначим её тоже буквой A, аналогично будем обозначать площади других фигур) A = 3B. Тогда аналогично относятся длины оснований треугольников A и B, т.е. a = 3b. Но a и b являются также основаниями треугольников X и C с общей высотой, проведённой к ним. Поэтому

X = 3C = 3 · 2 = 6.

Аналогично, Y : D = d : c = Y : D = 8 : 4 = 2.

Поэтому Y = 2D = 2 · 5 = 10.

В результате площадь серого четырёхугольника равна

X + Y = 6 + 10 = 16.

Немного быстрее можно получить ответ, если воспользоваться свойством площадей треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник. Согласно этому свойству,

X · B = A · C (эту формулу можно доказать, рассуждая, как в приведённом выше решении; существуют и другие способы доказательства). Тогда

X = (A · C) : B.

Аналогично,

Y = (D · F) : E.

Поэтому

X + Y = (9 · 2) : 3 + (5 · 8) : 4 = 6 + 10 = 16.

Заметим, что всякий делитель числа 2¹⁰ · 3²⁰ является также делителем числа 2²⁰ · 3²³. Делители каждого из этих чисел имеют вид 2ⁿ · 3^m. Но для первого числа их количество, т.е. число подходящих пар (n; m), равно

(20 + 1) · (23 + 1) = 504,

а для второго –

(10 + 1) · (20 + 1) = 231.

Поэтому число делителей числа 2²⁰ · 3²³, которые не являются делителями числа 2¹⁰ · 3²⁰ равно

504 – 231 = 273.

Подставив во второе уравнение (1 – x) вместо x, получим

f(x) – g(1 – x) = 1 – 2x + x².

Вместе с первым уравнением имеем систему:

Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим результат с первым уравнением. Получим

3f(x) = 3x² – 4x + 2, откуда

f x = x² – 4/3x + 2/3.

Если Анна заняла 1-е место в двух категориях, то её наибольшая оценка равна

1 · 1 · 13 = 13.

Далее, по крайней мере два участника могли получить меньшие оценки, например,

2 · 2 · 2 = 8 и

3 · 3 · 1 = 9.

Покажем, что таких участников не более двух. Предположим противное: их по крайней мере 3. Тогда их места в первой категории не меньше 2, 3 и 4; во второй – также не меньше 2, 3 и 4; в третьей – не меньше 1, 2, 3. Тогда произведение оценок этих трёх участников не меньше

2³ · 3³ · 4² = 3456.

Но если бы у всех трёх этих участников оценки были не более 13, то произведение этих оценок было бы не более

13³ = 2197.

Но 3456 > 2197. Поэтому Анну могли опередить только два участника и, значит, её самый низкий рейтинг – 3-й.

Будем считать, что числа вписываются по спирали в клетки большого клетчатого листа. Рассмотрим квадраты, состоящие из клеток, у которых в центре записано число 1. Первый из них – это квадрат со стороной 1, состоящий из одной клетки. Следующий – квадрат со стороной 3, состоящий из 3² = 9 клеток, в которые вписаны числа от 1 до 9, последнее число 9 – в левом верхнем углу.

Далее идёт квадрат со стороной 5, состоящий из 5² = 25 клеток, последнее из них число 25 также вписано в левом верхнем углу. Согласно тому, как продолжается данная спираль, все следующие квадраты, в центре которых находится 1, будут иметь нечётные размеры, причём наибольшее в квадрате со стороной 2n – 1 число (2n – 1)² будет вписано в левом верхнем углу данного квадрата. Поскольку число 625 = 25², то оно будет вписано в левом верхнем углу квадрата со стороной 25. Следующее число 626, по ходу данной спирали будет записано выше числа 625, а число 627 – правее числа 626. Поэтому правильным является ответ Б.

Пусть P, Q, R и S – вершины данного тетраэдра, где P, Q, R – вершины его серой грани. На следующем рисунке указаны вершины нижних граней после перекатываний.

Видим, что впервые после старта основание тетраэдра совпадёт с основанием на старте в треугольнике Е.

Согласно формулам Виета для многочлена 5-й степени, произведение корней данного многочлена равно свободному члену со знаком минус, т.е. числу 7. (Формулы Виета для такого многочлена получатся, если раскрыть скобки в выражении

(x – a₁)(x – a₂)(x – a₃)(x – a₄)(x – a₅), где a₁, a₂, …, a₅ – корни данного многочлена, и посчитать, как через эти корни выражается свободный член и другие коэффициенты при степенях х данного многочлена.)

Поэтому, если все корни данного многочлена – целые числа, то ими могут быть только какие-то из чисел ±1 и ±7, причём ровно один из корней равен 7 или –7.

Далее, по ещё одной формуле Виета, сумма корней (снова со знаком минус) равна коэффициенту при x⁴, т.е., по условию, равна 11. Но из названных возможных значений корней существует только один способ получить сумму 11 – это

11 = 7 + 1 + 1 + 1 +1.

Следовательно, корень 1 имеет кратность 4. Поэтому наибольшая степень (x – 1), на которую делится данный многочлен, – это (x – 1)⁴.

Проведём хорды AB и BC и рассмотрим треугольник ABC (см. рис.).

Так как вписанный угол ABC опирается на диаметр окружности, этот угол является прямым. Пусть 2а (см) – сторона исходного квадрата. Тогда

AD = a – 8, BD = a – 6, DC = a.

В прямоугольном треугольнике ABC по свойству высоты, проведённой к гипотенузе, имеем:

BD² = AD · DC, т.е.

(a – 6)² = (a – 8) · a, откуда a = 9.

Поэтому сторона исходного квадрата 2a = 18 (см).

При n = 1 получаем число

1³ · 2³ · 3³ · 4³ · 5³ = 2⁹3³5³.

Поэтому НОД всех чисел указанного вида является делителем числа 2⁹3³5³, в частности, не больше этого числа.

Покажем, что искомый НОД равен указанному числу.

Действительно, произведение

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

есть произведение пяти последовательных натуральных чисел. Среди них обязательно есть число, кратное 3 (достаточно взять любые три последовательных числа), есть число, кратное 5. Кроме того, есть число, кратное 4 (достаточно четырёх последовательных чисел), и ещё хотя бы одно чётное число. Поэтому произведение данных пяти натуральных чисел делится на

2³ · 3 · 5.

Тогда куб данного произведения, т.е.

n³(n + 1)³ (n + 2)³ (n + 3)³ (n + 4)³

делится на

(2³ · 3 · 5)³ = 2⁹3³5³.

Обозначим числа в пустых ячейках так, как показано на рис.1.

Рассматривая две левые чёрные точки, получаем

6 + A + B = 4 + B + X, откуда

X = A + 2.

Тогда, рассматривая две средние чёрные точки, получаем

A + Y + C = (A + 2) + C + D, откуда

Y = D + 2.

Наконец, рассмотрим две крайние правые чёрные точки. С учётом полученного выше результата, имеем:

(D + 2) + ? + E = D + E + 11, откуда

? = 9.

Хотя этого не требуется, можно найти значения во всех ячейках. Они вычисляются однозначно и указаны на рис.2.

Из формулы площади круга сразу получаем, что радиусы оснований данных цилиндров равны r = √3.

В первом (стоящем прямо) цилиндре осевым сечением тела, которое занимает вода, является прямоугольник 2r × h, а во втором (наклоненном) цилиндре – прямоугольный треугольник с катетами 2r и l (см. рис.).

Из соображений симметрии ясно, что если поставить наклонный цилиндр прямо и залить в него воды до уровня l, то воды станет в 2 раза больше. Поэтому l = 2h. Следовательно, прямоугольный треугольник (на рисунке) с катетом h и гипотенузой l имеет углы, равные 30° и 60°. Тогда из прямоугольного треугольника с катетами l = 2h и 2r получаем

h : r = 2h : 2r = tg 60° = √3.

Поэтому h = √3r = √3 · √3 = 3.

Следовательно, в каждом цилиндре содержится

3 · 3π = 9π м³ воды.

Среди шести последовательных множителей имеются (три) чётных числа и по крайней мере одно число, кратное 5. Поэтому произведение данных шести чисел делится на 2 · 5 = 10 и, значит, b = 0. Тогда, поскольку цифры a, b, c и d – последовательные числа, цифры a, c и d – это цифры 1, 2 и 3 в некотором порядке. В частности,

а + с + d = 6.

Далее, заметим, что среди шести последовательных множителей два множителя кратны 3. Поэтому произведение данных шести чисел, а значит, и сумма его цифр, кратны 9. Кроме того, сумма цифр – чётная, так как данное 12-значное число состоит из двух пар одинаковых троек цифр. Поэтому половина суммы цифр также должна быть кратна 9. Учитывая, что b = 0, а остальные цифры не более 3, можно сделать вывод, что половина суммы цифр

а + с + 2d = 9.

Из этого уравнения и уравнения

а + с + d = 6

следует, что d = 3.

Хотя правильный ответ уже найден, продолжив это исследование, можно найти а = 2 и с = 1. Кроме того, можно найти сами множители:

74 · 75 · 76 · 77 · 78 · 79 = 200 133 133 200.